GEOMETRIEN I DEN STORE PYRAMIDE
Den store pyramiden i Egypt ble bygget så langt tilbake at ingen kan påberope seg å si når, men den har i lang tid blitt forbundet med navnet til Farao Khufu. Han kjennes bedre under sitt greske navn Kheops, siden grekerne hentet store deler av sin visdom fra den tidligere Egyptiske kultur. Knapt noen bygning på jorden er mer omtalt og utforsket, og slik har det vært gjennom kjent historisk tid. Et av emnene som har vakt størst vitenskapelig interesse er pyramidens geometri, med detaljhenvisninger til både kulturens utvikling og kosmiske sammenhenger. Ordet Geo (jord) – metri (måling) viser til noe som måler jorden, den materielle verden. Ordet pyramide blir ofte fortolket som avledet av gresk: Pyra (lys/ild/synlighet) – midos (mål/måleenhet). Enkelte forbinder det med koptisk (egyptisk): Per (deling/divisjon) – met (tallet ti), i betydningen divisjon i et titallssystem. Ordet per finnes også i latinske språk og brukes i dag i ulike språk om telling eller deling, f.eks. per (pr.) kilo eller per dag. Stavelsen met utgjør roten til forskjellige ord som på mange språk er relatert til måling, kanskje aller mest kjent i ordet meter (måler). Da franskmennene ønsket å definere meteren som universell måleenhet i 1791, satte man lengden til en ti-milliontedel av en lengdegrad, dvs. jorden var malen (senere har andre definisjoner kommet til). Hovedmomentet å merke seg er at forskjellige lingvistiske sammenhenger hentyder til samme oppfatning som det meste av forskningen omkring pyramidens geometri; den er en målestokk eller mal for mange størrelser i den jordiske verden, også med informasjon om kosmologiske forhold. Forfattere og forskere finner et arsenal av universelle standarder, med anvisninger om både rom og tid. Vanligvis måler man pyramiden i tommer, enheten kalles pyramidetommer og ligger temmelig nær nåtidens tommesystemer. Målt i pyramidetommer går mange vitale mål i pyramiden går opp i hele tall, denne oppdagelsen blir ofte tilskrevet Sir Isaac Newton. En del mener at pyramidekonstruktørene også kjente til meteren. Tommesystemer forbindes ofte med menneskets proporsjoner, mens meteren har utgangspunkt i jordens dimensjoner. Siden mennesket bor på jorden, er det sannsynligvis en sammenheng også mellom disse måleenhetene.
Noen grunnleggende momenter
-Pyramiden er plassert i sentrum av jordens landmasser. Her møtes to av de lengdegrader og breddegrader som har absolutt lengst forløp over landområder. Illustrasjonen er et mercatorkart, en klassisk navigasjonsprojeksjon der en rett linje på kartet også blir en rett linje på globusen, men flateinnholdet nær polene blir sterkt overdrevet.
-Avstanden fra pyramiden til jordens sentrum er så å si den samme som avstanden fra pyramiden til nordpolen, iht. Google Earth er avviket ca. 30 km fra jordens gjennomsnittsradius, men planeten er tykkere ved denne breddegraden.
-Både detaljering, dimensjonering og kompassorientering har større presisjon enn de fleste moderne bygninger. Steinene er gjennomgående tilpasset på en måte som knapt kan overgås med slipeutstyr i dag, avvik i størrelsesorden 0,001 tommer på 7 fot, og blokkene veier fra ca. 2 – 50 tonn. Retningsavviket langs de 230 meter lange fasadene er mindre enn nåtidens alminnelige byggeplassavvik, og kompassorienteringen nord-sør er mer presis enn noen annen kjent bygning i denne størrelsesorden. Presisjonen kan ha vært enda større opprinnelig, pyramiden er brukt som steinbrudd, overflateblokkene er fjernet og underliggende deler kan ha blitt påvirket. De er dessuten blitt flyttet i forskningsøyemed, Egyptiske myndigheter har beveget enkelte grunnsteiner og slått fast at platået er blitt nøyaktig nivellert og tilpasset hver enkelt blokk.
-Det finnes mange teorier om hvordan man kan ha fått så mye stein på plass med antatt gammelegyptisk teknologi, men kun èn som kan forklare presisjonen i materialbearbeiding og konstruksjon. Fysikkprofessoren Guy Demortier foreslår at steinene består av plasstøpt kalkstensbetong, dette støttes av både historikeren Herodots byggebeskrivelse (ca 450 f.kr.) og moderne materialanalyser som blant annet indikerer stort vanninnhold. Herodot beskriver blant annet en ”byggemaskin” med korte planker, og at ”toppen ble ferdig først”. Det ville vært umulig ved stabling av stein, men naturlig hvis overflatesteinene ble støpt fra toppen og ned slik at man slipper forskalling over pyramidens utside. En indikasjon på dette er synlig i dag, den nesten like store Khefrenpyramiden rett ved siden av har overflatesteinen intakt nettopp rundt toppen. Metoden har blitt tilskrevet Imhotep (den første navngitte arkitekt og medisiner i historien), som levde under farao Djoser før Khufu.
-Et større mysterium er sarkofagen i den sentrale cellen (kongekammeret), som er formet av èn enkelt granittblokk (for stor til inngangene). Dette arbeidet ville i dag kreve teknologi som laser eller safir/diamantbor med enorm kraft og omdreiningshastighet.
-Overflaten skal ha bestått av polert, hvit kalkstein. Dette mineralet falmer ikke slik som f.eks. marmor. Høyden på nesten 140 meter tilsvarer nesten 40 moderne etasjer, den må i sollys ha lignet en kolossal diamant. Høyden oppgis i litteratur ofte til eksakte desimaltall på drøyt 146 meter, dette er kalkyler ut fra grunnflate og helningsvinkel som ser bort fra at nesten 10 meter av toppen ikke eksisterer.
-Dateringen av pyramiden er beheftet med usikkerhet og diskusjon. Teoriene spenner fra over 80 000 år f. kr. til ca. 2500 år f.kr. I esoteriske sammenhenger blir opphavet tradisjonelt tilskrevet utvandrere fra en pre-egyptisk sivilisasjon, Atlantis, som skal ha hatt teknologi og kunnskap til å sette opp byggverket. Perioden ca. 10 – 12000 år f.kr. er en ofte nevnt tidsangivelse i denne sammenheng, begrunnet i både skriftlig kildemateriale og detaljerte astronomiske korrespondanser. Det henvises oftest til den absolutt mest kjente, detaljerte kilde om et Atlantisk kontinent, Platons Timaios og Kritias, som hevder at fatale naturkatastrofer foregikk 9000 år før Solon, dvs. ca. 9500 år f.kr. Det antas at Platons hovedkilde var Solon selv, som hadde vært mange år i Egypt, der Atlantis ble betraktet som et historisk faktum. I denne sammenheng er det også verdt å minne om pyramidens små avvik i forhold til himmelretninger og pol-avstand, og at både den magnetiske nordpol og jordaksen flytter seg over tid. Presesjonen dreier jordaksen syklisk over en periode på ca. 25920 år, og det antas at jordaksen også tidvis gjør visse ”hopp” i forhold til planetkulen. Det siste fenomenet forbindes gjerne med geofysiske og klimatiske endringer, som for eksempel for 10 – 12000 år siden da siste istid kom til en ende.
I arkeologisk tradisjon har opphavet blitt tilskrevet Farao Khufu, da med antatt ferdigstillelse omkring 2600 f.kr. Denne teorien har to kilder, den ene er Herodots annenhånds beretning, nedskrevet minst to tusen år etter pyramidens ferdigstillelse. Den andre kilden kom etter sprengninger over kongekammeret i 1837 som ga adgang til smale trykkavlastningsrom der man fant påmalte tegn. Atlantis-tilknytningen mangler kildemateriale, men de mystiske skrifttegnenes autentisitet blir trukket i kanskje enda større tvil. Zecharia Sitchin hevder å føre bevis for falskneri i boken The Stairway to Heaven (1980). Ingen farao har selv tatt æren for pyramiden, heller ikke Khufu. Bortsett fra disse skjulte kamrene har pyramiden ingen inskripsjoner, og det er ingen tegn til at den har vært brukt som grav. Disse og andre særtrekk gjør den unik i forhold til nesten alle andre pyramider i Egypt. Nå er ikke opphavet hovedpoenget i denne artikkelen, men for å gi substans til den geometriske analysen er det nyttig å peke på at spørsmålet om opprinnelse er omfattende og åpent, både med hensyn til formål, teknologi og datering.
Geometrien
Emnet kan synes nesten uuttømmelig, denne artikkelen tar med noen grunnleggende momenter og vil framstille det enkle og universelle. På skolen har mange lært at volumet av en pyramide er 1/3 x (areal x høyde). Rominnholdet av en kvadratisk pyramide er altså 1/3 av en terning med samme grunnflate. Pyramidens høyde er avhengig av helningsvinkelen, og det er denne vinkelen som utgjør hele forskjellen mellom en hvilken som helst pyramide og en universell størrelse. Helningsvinkelen i Kheopspyramiden er 51°51min.14,3sek., eller 51,867… grader. Desimalantallet er uendelig, og har sammenheng med at pyramiden inkorporerer de universelle størrelsene Pi (3,1416…) og Phi (1,618…), også kalt ”det gylne snitt”. Dette er irrasjonale eller transcendentale tall, de kan ikke uttrykkes i brøk, men i geometrisk form kan de representere eksakte størrelser. En estetisk godbit er at pyramiden tilsynelatende står i motsetning til tradisjonell visuell estetikk, der det het at man ikke måtte blande sammen forskjellige proporsjonssystemer, for å unngå visuell ubalanse. Men i pyramiden er de to kardinalsystemer (Pi og Phi) forent med største eleganse, endatil på en enkel måte. Videre demonstrerer pyramiden det klassiske matematiske problemet om sirkelens kvadrering, illustrert ved proporsjonsforholdet mellom pyramidens høyde og perimeter, og mellom pyramidesnittet og jordens og månens diameter!!! Pi og Phi har vært tilskrevet greske matematikere som levde mange tusen år etter pyramidens ferdigstillelse, selv om det er historisk kjent at Solon, Platon, Pythagoras og andre greske vismenn hadde vært i Egypt, eller studert egyptiske vitenskaper. La tallene tale:
-Pi (=3,14…, skrives matematisk π) uttrykker forholdet mellom diameter og omkrets på en sirkel. Omkretsen (O) er diameter (D) x 3,14. O = Dπ
-Setter man en stor sirkel inne i pyramiden, med diameter tilsvarende pyramidens høyde (AD på figuren), blir diameteren multiplisert med to ganger Pi nøyaktig lik pyramidens perimeter (omkrets). Slik inkorporerer pyramideformen kvadrering av sirkelen, dvs. et kvadrat og en sirkel med samme omkrets. ADx2π = perimeter.
-Phi (=1,618…, skrives matematisk φ) uttrykker en form for harmonisk metamorfose gjennom proporsjonering som er mye brukt i kunst og arkitektur, og ofte er å finne i naturens vekstformer. Prinsippet kan enkelt uttrykkes ved hjelp av linjedeling:
En
linje er delt i det gylne snitt, når den korteste delen forholder seg til den
lengste slik den lengste delen forholder seg til hele linjen.
Den lengste delen vil da
være 1,618…ganger lengre enn den korte delen. Linjen kan forlenges i samme
proporsjonsforhold, i teorien uendelig. Så lenge hver del multipliseres med
1,618… vil alle enheter alltid være like lange som summen av de to foregående.
Dette kan blant fungere som et geometrisk uttrykk for Fibonacci-tallrekken (den
er ikke helt presis da utgangspunktet er en dobling, men kommer nærmere det
gylne snitt jo høyere tallene blir):
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…osv.
Relasjonen kan uttrykkes via matematisk oppsett:
AB/AC = BC/AB
Eller:
Linjen AB = X
Linjen BC = Y
X/(X+Y) = Y/X
Eller hvis man setter inn tall og runder av til ti desimaler:
Y = 0,6180339887…
X = 1
X + Y = 1,6180339887…
Y/X = 0,6180339887…
X/(X+Y) = 0,6180339887…
Når ligningen inverteres blir desimalene elegant identiske.
Se på snittet av pyramiden. Halvsnittet ABD danner en rettvinklet trekant. Hypotenusen AB utgjør ytterveggens høyde/pyramidens utside, mens kateten DB utgjør en halv baselengde. Vinkelen er som nevnt 51,867…grader, og dette raffinementet gjør at AB/DB = 1,618… Forholdet mellom ytterveggen og halvparten av baselengden utgjør det gylne snitt.
(Base/2)φ = Ytterveggens høyde.
Se videre at pyramidens høyde på figuren er delt av to mindre sirkler. En sirkels omkrets er som kjent diameter x 3,14. Enda mer elegant blir det når man finner at omkretsen på hver av disse sirklene er nøyaktig lik basens totale lengde. Halve pyramidehøyden multiplisert med Pi og deretter halvert, må altså multipliseres med Phi for å få ytterveggens (skråveggens) høyde.
(((Høyde/2)π)/2)φ = ytterveggens høyde.
Glem ikke at den rettvinklede trekanten ABD har en loddrett katet som utgjør pyramidens høyde. Hvis man setter halve baselengden til 1, blir ytterveggens høyde altså 1,618…, men pyramidens høyde blir kvadratroten av 1,618…, som er 1,2720…, også et irrasjonalt tall.
Hvis base/2 = 1 så er ytterveggens høyde = φ og pyramidens høyde = √ φ
Det er ikke underlig at folk har lett etter nesten alle slags sammenhenger i pyramiden, når slike fundamentale relasjoner er såpass åpenbare. Eksemplene ovenfor er egentlig nokså grunnleggende matematikk. Litt mer kosmisk blir det i neste figur:
Snittet av pyramiden er vist ved trekanten. Pyramidens grunnflate er vist ved kvadratet. Den store røde sirkelen har samme radius som pyramidens høyde, og får da automatisk samme omkrets som grunnflaten. Dette kalles å ”sirkulere kvadratet”, eller å ”kvadrere sirkelen”. Legg merke til den store blå sirkelen med samme diameter som pyramidens grunnflate, og den lille blå sirkelen med samme radius som pyramidens topp utenfor grunnflaten. Disse to sirklene er svært nær samme innbyrdes forhold som jordens og månens diameter.
Et annet og omdiskutert forhold er at pyramiden ikke har rette sider, de er vinklet innover mot sentrum. Fotografiet ble tatt i 1940 av piloten P. Groves og skapte ståhei, men fenomenet var forlengst publisert av Flinders Petrie. Pyramiden kan altså sies å ha 8 sider (9 med grunnflaten), dette særtrekket er ikke funnet på noen andre pyramider i Egypt. Skråvinkelen er så liten at den ikke er synlig for øyet. Kildene er ikke helt enige om størrelsen på vinkelen, det kan være unøyaktigheter og avvik i målemetoder, men resultatene peker mot at sidenes konkavitet er temmelig nær jordens krumning.
Om pyramider, geometri og historie
Har du lyst til å lage en pyramide? Det eneste gjenværende av oldtidens syv underverker er ikke så vanskelig å konstruere. Bruk passer og lag fire sirkler som vist på illustrasjonen, og du har et pyramidesnitt. Sirklene overlapper hverandre halvveis, de små sirklenes radius utgjør 1/3 av de stores radius. Den overlappende delen av sirklene kalles vesica piscis, fiskeblære, dette er den geometriske mal for kristendommens fiskesymbol og gotikkens spissbuer. Jesus hadde tilknyting til esseerne, som i perioder hadde tilholdssted (delvis skjulested) ved Moerissjøen ikke langt fra Kairo, der pyramiden står. I følge esoterisk tradisjon ble Jesus selv innviet i pyramiden, og det hevdes at et av bygningens vesentlige formål var å fungere som innvielseskammer. Publisert kildemateriale er magert her, men uansett ble den geometriske formsymbolikken gjennom bl.a. vesica piscis dyrket gjennom kristendommen i midtøsten, og gikk derfra videre til Europa med tempelridderne, som etter sin plutselige tilbaketrekking fra den hellige by og gralssøkingen stod bak byggingen av Europas gotiske katedraler over en periode på vel 200 år. Et like klart fokus på geometri og dimensjonering lå bak den greske kulturs samfunnsbygging og kunst, inspirert av den tidligere Egyptisk/Assyrisk/Babylonske tidsepoke og videreført gjennom romerriket. Gradvis ble formene vulgarisert, og innholdet ble skjult eller glemt.
Pyramider finnes over store deler av jorden, men hvorfor kommer geometri og kosmiske sammenhenger så ofte i fokus? Geometri blir av og til kalt englenes språk, med hentydning til overordnede strukturer uttrykt symbolsk, som abstraksjoner. Livet antas å fungere etter visse mønstre og proporsjoner, ofte kalt ”hellig geometri”. Det er nevneverdig at ordet engel – angel – på engelsk er nesten identisk med ordet vinkel – angle – som også betyr passer. Den geografiske betegnelsen var Anglia, i dag England (og angler betyr fisker). Man mener å ha identifisert pyramidetommen også i Stonehenge-anlegget og amerikanske pyramider, og at dette var den alminnelige tommestørrelse i England inntil victoriatiden. Pyramidetommen er 0.0011 mm større enn den nåværende britiske tomme, som måler 25,399978 mm. Gjennom antikken og middelalderen var byggmesterfaget omgitt av hemmeligheter, dette gjelder ikke bare vestens hellige geometri, men minst like mye den orientalske tradisjon feng shui, der det for inntil få hundre år siden kunne forekomme dødsstraff for å utgi kunnskap til uinnviede. Euklid regnet geometrien som den fremste matematiske vitenskap, fordi den kunne uttrykke størrelser utenfor tallenes rekkevidde (transcendentale tall). Middelalderens høyere universitetsutdanning, quadrivium, bestod av geometri, aritmetikk, astronomi og musikk. Lærlinger til byggmesterfaget gjennomgikk avanserte opptaksprøver i geometri.
Også orientalske monumentalbygg er basert på geometriske idealer. På andre halvdel av 200-tallet f.kr. samlet Ying Zheng, bedre kjent som keiseren av Qin (han med terracottahæren), det kinesiske imperium. Utstrekningen ble større enn det samtidige romerriket. Den forbudte by står fremdeles i Peking, men feng shui tradisjonen er nå så popularisert at det dypere innholdet og geometrien også her ligger i bakgrunnen. For å gi en siste henvisning til esoterisk tradisjon forteller historien at utvandringen fra Atlantis gikk i flere retninger og etapper, en av de store utvandringene gikk til Egypt, mens en annen gikk lenger øst mot Gobi-området og dannet grunnlaget for den senere kinesiske kultur. I dag er øst og vest i ferd med å gjenforenes, og interessen for pyramiden og hellig geometri er sannsynligvis større enn noensinne
Litteratur
Demortier, Guy; PIXE, PIGE and NMR study of the masonry of the pyramids of
Kheops at Giza, Nucl. Instr. And Meth. In Phys. Res. B 226 (2004) 98-109.
Demortier, Guy; The construction of the Kheops Pyramid revisited, Physicalia
Magazine, (Belgian Physical Society) 22 (2000) 207-221.
Lawlor, Robert; Sacred Geometry, philosophy and practice, Thames & Hudson, London 1982.
March, Lionel, Architectonics of Humanism, Academy Editions 1998
Pacioli, Luca, De Divina Proportione, 1509 (illustrert av Leonardo da Vinci)
Petrie, Flinders; The Pyramids and Temples of Gizeh, 1883.
Skinner, Stephen; Sacred Geometry, Sterling Publishing, New York 2006.
Sitchin, Zechaira; The Stairway to Heaven,1980.
